آزمون های میانگین

آزمون های میانگین از پرکاربردترین روش‌های آماری هستند که برای مقایسه میانگین داده‌ها در یک یا چند جامعه آماری استفاده می‌شوند. آزمون‌ های میانگین به پژوهشگر کمک می‌کنند مشخص کند آیا اختلاف مشاهده‌شده میان گروه‌ها واقعی است یا صرفاً ناشی از خطای نمونه‌گیری است.

انواع مختلفی از آزمون‌ های میانگین وجود دارد که بسته به هدف تحقیق و نوع داده‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. این آزمون‌ ها شامل آزمون میانگین یک جامعه، آزمون مقایسه میانگین دو جامعه مستقل، آزمون مقایسه زوجی و آزمون مقایسه میانگین چند جامعه (معروف به ANOVA) هستند.

یکی از دلایل اهمیت آزمون‌ های میانگین در پژوهش‌های علمی و تحلیل داده‌ها، توانایی این آزمون‌ها در کشف تفاوت‌های واقعی بین گروه‌ها بدون تأثیرپذیری از نوسانات تصادفی است. استفاده درست از آزمون‌ های میانگین نیازمند بررسی پیش‌فرض‌هایی مانند نرمال بودن داده‌ها و همگنی واریانس‌ها است تا اطمینان حاصل شود که نتایج آزمون قابل اعتماد و معتبر خواهند بود.

به‌طور کلی، آزمون‌ های میانگین نقش کلیدی در تصمیم‌گیری‌های مبتنی بر داده دارند و پایه بسیاری از تحلیل‌های آماری را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، شناخت دقیق از آزمون‌ های میانگین و نحوه به‌کارگیری آن‌ها، برای پژوهشگران، تحلیل‌گران و دانشجویان رشته‌های آماری و علوم داده امری ضروری است.

به منظور برقراری ارتباط با گروه داده پردازی ایران آمار جهت ثبت سفارش انجام پروژه‌ SPSS از لینک‌های زیر اقدام نمایید.

در این صفحه، پیش از بررسی دقیق هریک از آزمون‌ های میانگین در نرم‌افزار SPSS، ابتدا به مفهوم مقدار احتمال و معنی‌داری آماری پرداخته شده است. آشنایی با این مفهوم به کاربر کمک می‌کند تا نتایج آزمون‌ها را بهتر درک کرده و تصمیم‌گیری علمی‌تری بر اساس آن‌ها داشته باشد.

مفهوم مقدار احتمال و معنی‌داری در آزمون‌ های میانگین

در تحلیل‌های آماری، به‌ویژه در چارچوب آزمون‌ های میانگین، دو مفهوم کلیدی p-value و Significance نقش محوری و اساسی در تفسیر نتایج دارند. درک صحیح این دو مفهوم به پژوهشگر کمک می‌کند تا بتواند درباره پذیرش یا رد فرضیه‌های آماری تصمیمی آگاهانه بگیرد. همچنین تصمیم بگیرد که آیا تفاوت میانگین‌ها میان گروه‌ها واقعی و قابل اتکا است یا آنکه به‌صورت تصادفی و بر اثر خطای نمونه‌گیری به‌وجود آمده اند.

در آزمون های میانگین، p-value که به آن p-مقدار یا مقدار احتمال گفته می‌شود، یکی از مهم‌ترین مفاهیمی است که برای تصمیم‌گیری در مورد رد یا پذیرش فرضیه صفر به کار می‌رود. فیشر، آماردان برجسته انگلیسی، نماد P را برای بیان احتمال به‌کار برد. در مقابل، لهمن، آماردان دانشگاه برکلی آمریکا، از آن با عنوان احتمال یا معنایی (significance) یاد می‌کند.

مقدار p-value عددی بین 0 تا 1 است که نشان می‌دهد اگر فرض صفر درست باشد، احتمال مشاهده داده‌ها چقدر است، که به پژوهشگر در تشخیص تصادفی بودن نتایج حاصل و معنی‌داری آن‌ها از نظر آماری کمک می‌کند. به زبان ساده‌تر، p-value معیاری برای سنجش میزان شواهد آماری علیه فرض صفر است. p-value پایین به معنای وجود شواهد قوی برای رد فرض صفر است.

معناداری در آزمون های میانگین به عددی گفته می‌شود که پژوهشگر قبل از انجام آزمون، آن را تعیین می‌کند و معمولا 5 درصد است. این مقدار بیانگر احتمال خطایی است که در صورت رد نادرست فرضیه صفر ممکن است رخ دهد. به‌عبارت دیگر، سطح معناداری آستانه‌ای برای تصمیم‌گیری در رد یا پذیرش فرضیه‌ها است.

درک صحیح از سطح معناداری و تفسیر دقیق مقدار احتمال، برای استفاده مؤثر از آزمون‌ های میانگین ضروری است. بدون توجه به این مفاهیم، امکان دارد نتایج به‌درستی تحلیل نشوند و تصمیم‌های نادرستی در خصوص تأیید یا رد فرضیات اتخاذ شود.

نتایج حاصل از آزمون‌ های میانگین معمولاً به‌صورت p-value یا مقدار Sig. در نرم‌افزارهای آماری مانند SPSS گزارش داده می‌شوند. هرچه مقدار p-value از سطح معنی‌داری تعریف شده (معمولا 5 درصد) کمتر باشد، احتمال معنادار بودن تفاوت میانگین‌ها بیشتر است و فرض صفر با سهولت بیشتری رد می‌شود. در مقابل، اگر p-value بیشتر از 5 درصد باشد، فرض صفر رد نمی‌شود. رد فرض صفر به معنی قبول کردن فرض مقابل نیست، بلکه به معنی وجود شواهد آماری کافی برای عدم تأیید آن است.

مثال کاربردی در درک مفهوم p-value و معنی‌داری در آزمون های میانگین

برای آشنایی با سطح معنی‌داری در آزمون های میانگین، فرض کنید پژوهشگری می‌خواهد بررسی کند که آیا مصرف یک نوع مکمل باعث افزایش تمرکز در دانشجویان می‌شود یا خیر. برای این کار، او یک آزمایش طراحی می‌کند که در آن، دانشجویان به دو گروه تقسیم می‌شوند. گروه اول دانشجویانی هستند که مکمل را مصرف می‌کنند و گروه دوم آن‌هایی که بدون مکمل فعالیت خود را ادامه می‌دهند. در ادامه، تمرکز ذهنی دانشجویان با استفاده از آزمون های میانگین اندازه‌گیری می‌شود.

• گام اول، تعریف دقیق فرضیه‌ها است. پژوهشگر باید مشخص کند که آیا به‌دنبال یافتن تفاوت میان میانگین‌ها است یا خیر. در این مرحله، فرض صفر معمولاً نشان‌دهنده عدم تأثیر میان متغیرهاست، یعنی مصرف مکمل هیچ تأثیری بر تمرکز ندارد. در حالی که فرض مقابل وجود تفاوت معنادار را مطرح می‌کند و مکمل ممکن است تأثیر مثبتی بر تمرکز داشته باشد. ساختار آزمون‌ های میانگین بر پایه این فرضیات بنا می‌شود و تفسیر نتایج نیز وابسته به درستی یا نادرستی آن‌ها است.
• در گام دوم، سطح معناداری یا آلفا تعیین می‌شود که به‌معنای میزان خطایی است که پژوهشگر مایل است در رد فرض صفر بپذیرد. مقدار معمول برای سطح معناداری برابر با 0.05 است، یعنی پژوهشگر حاضر است با ۵ درصد احتمال اشتباه، فرض صفر را رد کند. این عدد باید پیش از اجرای آزمون های میانگین انتخاب شود و نشان‌دهنده حساسیت تحلیل نسبت به تفاوت‌ها است.
• سومین گام (انتخاب آزمون های میانگین مناسب و محاسبه p-value)، انتخاب نوع آزمون میانگین اهمیت زیادی دارد. با توجه به نرمال بودن و نبودن داده‌ها و معلوم یا مجهول بودن واریانس جامعه، آماره آزمون مناسب تعیین می‌شود. بسته به نوع داده‌ها و هدف پژوهش، یکی از انواع آزمون‌ های میانگین مانند t-test (تک‌نمونه‌ای، زوجی یا مستقل) یا آزمون تحلیل واریانس (ANOVA) مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این مرحله، نرم‌افزار آماری SPSS مقدار p (یا مقدار sig) را محاسبه می‌کند. این مقدار بیان می‌کند که اگر فرض صفر درست باشد، احتمال به‌دست‌آمدن تفاوت موجود در داده‌ها چقدر است.

استفاده صحیح از آزمون‌ های میانگین نیازمند درک دقیق مفاهیمی مانند فرضیه‌های آماری، سطح معنی‌داری و مقدار p-value است. چنین تحلیل‌هایی با کمک آزمون‌ های میانگین، پایه‌ای برای تصمیم‌گیری علمی و داده‌محور فراهم می‌کنند.

انواع آزمون های میانگین و کاربرد آن‌ها در تحلیل‌های آماری

در حوزه تحلیل آماری، انتخاب دقیق و متناسب آزمون‌ های میانگین نقشی تعیین‌کننده در اعتبار و نتایج پژوهش ایفا می‌کند. آزمون‌ های میانگین، ابزارهایی برای مقایسه میانگین متغیرها در گروه‌های مختلف هستند و بسته به ساختار تحقیق، تعداد گروه‌های مورد بررسی، ماهیت وابستگی یا استقلال داده‌ها، و فرضیات آماری نظیر نرمال بودن توزیع یا همگنی واریانس‌ها، نوع مناسب آن‌ها انتخاب می‌شود.

بهره‌گیری درست از آزمون‌ های میانگین نه‌تنها موجب افزایش دقت در تحلیل داده‌ها می‌شود، بلکه امکان تصمیم‌گیری علمی و مبتنی بر شواهد را برای پژوهشگر فراهم می‌سازد. در ادامه، به معرفی چهار نوع اصلی آزمون‌ های میانگین که کاربرد فراوانی در مطالعات تجربی و تحلیلی دارند، پرداخته شده است.

آزمون t تک‌نمونه‌ای (One-Sample t-test): از جمله آزمون های میانگین برای مقایسه میانگین یک نمونه با یک مقدار مشخص یا فرضی، آزمون t-test است. این آزمون در نرم‌افزار SPSS از مسیر  Analyze > Compare Means > One-Sample T Test در دسترس است. لازم است عدد فرضی در قسمت Test Value وارد شود. برای استفاده صحیح از این آزمون باید فرضیات زیر مد نظر قرار گیرند:

• توزیع داده‌ها باید نرمال باشند.
• نمونه به‌صورت تصادفی انتخاب شده باشد.
• داده‌ها از نوع مقیاس فاصله‌ای یا نسبی باشند.

آزمون t دو نمونه مستقل (Independent Samples t-test): برای مقایسه میانگین دو گروه مستقل از آزمون های میانگین از این آزمون استفاده می‌شود. این آزمون در نرم‌افزار SPSS از مسیر Analyze > Compare Means > Independent-Samples T Test قابل اجرا است. به نحوی که لازم است متغیر گروه‌بندی (Grouping Variable) از پیش تعیین و مشخص شود. برای استفاده صحیح از این آزمون، چند پیش‌فرض اساسی وجود دارد:

• توزیع داده‌ها در هر دو گروه باید از لحاظ آماری نرمال باشد.
• واریانس‌های دو گروه باید با استفاده از آزمون Levene همگن باشند.
• و همچنین استقلال کامل نمونه‌ها در دو گروه رعایت شود.

آزمون t زوجی (Paired Samples t-test): آزمون زوجی از آزمون‌ های میانگین برای مقایسه دو وضعیت وابسته در یک گروه قبل و بعد از مداخله به‌کار می‌رود. در محیط SPSS برای اجرای این آزمون کافی است مسیر  Analyze > Compare Means > Paired-Samples T Test را دنبال کنید. شرایط استفاده از آزمون t زوجی به‌صورت زیر است:

• داده‌ها باید به‌صورت جفتی باشند. یعنی هر مقدار در یک زمان با مقدار متناظر در زمان دیگر مقایسه شود.
• توزیع اختلاف داده‌ها باید نرمال باشد.
• متغیرها از نوع مقیاس فاصله‌ای یا نسبی باشند.

آزمون Z برای میانگین (One-Sample Z-test): از این آزمون برای مقایسه میانگین یک نمونه با مقدار مشخص، زمانی که انحراف معیار جامعه مشخص باشد، استفاده می‌شود. این آزمون در نرم‌افزار SPSS به صورت مستقیم در منو وجود ندارد و باید از طریق محاسبه دستی یا Syntax انجام شود. پیش فرض‌های اساسی این آزمون به‌صورت زیر هستند:

• توزیع داده‌ها نرمال یا حجم نمونه بزرگ (n ≥ 30) باشند.
• انحراف معیار جامعه شناخته شده باشد.

تحلیل واریانس یک‌طرفه (One-Way ANOVA): از جمله آزمون‌ های میانگین برای مقایسه بیش از دو گروه مستقل، آزمون های میانگین از نوع ANOVA است. مراحل اجرای این آزمون در نرم‌افزار SPSS از مسیر Analyze > Compare Means > One-Way ANOVA است. پس از اجرای آزمون، اگر نتیجه از نظر آماری معنادار باشد، باید از آزمون‌های تعقیبی (Post-Hoc Tests) مانند Tukey HSD استفاده کرد تا مشخص شود کدام گروه‌ها با هم تفاوت دارند. فرضیات مهم این آزمون به‌صورت زیر است:

• داده‌های هر گروه باید دارای توزیع نرمال باشند.
• شرط همگنی واریانس‌ها بین گروه‌ها باید برقرار باشد که معمولا با استفاده از آزمون Levene بررسی می‌شود.
• استقلال کامل بین گروه‌ها یکی دیگر از پیش‌فرض‌های مهم تحلیل واریانس است.

تحلیل واریانس تکرار اندازه‌گیری (Repeated Measures ANOVA): برای مقایسه میانگین چند متغیر وابسته که به طور مکرر روی یک واحد اندازه‌گیری شده‌اند، از این آزمون استفاده می‌شود. این آزمون در نرم‌افزار SPSS از مسیر Analyze > General Linear Model > Repeated Measures قابل اجرا است. پی‌فرض‌های مهم این آزمون عبارتند از:

• توزیع داده‌ها باید نرمال باشند.
• بین مشاهدات همبستگی وجود داشته باشد.
• فرض کرویت (Sphericity) که با آزمون Mauchly بررسی می‌شود، برقرار باشد.

آزمون Welch (اصلاح‌شده t-test بدون فرض برابری واریانس): این آزمون نوعی اصلاح‌شده از آزمون های میانگین است و برای زمانی که فرض همگنی واریانس برقرار نیست، مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نرم‌افزار SPSS، هنگام اجرای آزمون t مستقل، اگر آزمون Levene معنادار باشد، از ردیف Welch در جدول نتایج استفاده می‌شود.

آزمون‌های تعقیبی پس از ANOVA (Post-Hoc Tests): برای مشخص‌کردن اینکه کدام گروه‌ها پس از آزمون ANOVA با هم تفاوت دارند، از این آزمون استفاده می‌شود. و انواع رایج آزمون های تعقیبی شامل Tukey HSD، Bonferroni و Scheffé هستند. در نرم‌افزار SPSS، این آزمون‌ها از طریق فعال‌سازی گزینه Post-Hoc هنگام اجرای آزمون ANOVA قابل انتخاب و استفاده هستند.

در مجموع، شناخت و استفاده درست از آزمون های میانگین در SPSS نقش کلیدی در تحلیل داده‌ها و بررسی دقیق تفاوت بین گروه‌ها دارد. انتخاب آزمون مناسب بر اساس نوع داده و هدف تحقیق، پایه‌ای برای نتیجه‌گیری‌های معتبر آماری است.

کاربرد آزمون‌ های میانگین محدود به یک حوزه خاص نیست، از مطالعات رفتاری در علوم انسانی و روان‌شناسی گرفته تا تحلیل داده‌ها در پزشکی، اقتصاد و صنایع، همگی برای مقایسه میانگین‌ها به این روش‌ها وابسته‌اند. در بسیاری از پروژه‌های پژوهشی، بررسی تفاوت یا تشخیص برتری میانگین یک متغیر کلیدی، نقطه آغاز تحلیل آماری محسوب می‌شود.

با بهره‌گیری از آزمون‌ های میانگین، پژوهشگر می‌تواند اعتبار فرضیه‌های خود را بر پایه شواهد آماری بررسی کند و با دقت علمی بالا، به نتایجی قابل تعمیم به کل جامعه برسد. به همین دلیل، شناخت دقیق آزمون‌ های میانگین و نحوه اجرای صحیح آن‌ها، یکی از ملزومات اصلی برای هر تحلیل‌گر داده و پژوهشگر حرفه‌ای به حساب می‌آید.

در آزمون های میانگین، فرضیه مطرح شده در مورد میانگین جامعه در سطح خطای آلفا مورد بررسی قرار می‌گیرد. با توجه به نوع داده‌ها، فرضیات و هدف پژوهش، باید نوع مناسب آزمون (یک‌طرفه یا دوطرفه) و آماره آزمون را انتخاب کنید.

در ادامه، آزمون‌ های میانگین به‌صورت دقیق و کاربردی، همراه با ذکر مثال‌های کاربردی در نرم‌افزار SPSS ارائه شده‌اند.

آزمون های میانگین یک جامعه (آزمون t تک نمونه‌ای)

آزمون‌ های میانگین با تکیه بر داده‌های نمونه، امکان قضاوت آماری درباره میانگین واقعی جامعه را فراهم می‌کنند.  به زبان ساده‌تر، آزمون‌ های میانگین ابزارهایی هستند که فرضیات پژوهشی را از سطح حدس و گمان به سطح تحلیل علمی و قابل اتکا ارتقا می‌دهند.

از این آزمون زمانی استفاده می‌شود که تنها یک گروه در اختیار است و هدف از پژوهش، بررسی تفاوت میانگین مشاهده شده با یک مقدار ثابت یا از پیش تعیین شده خواهد بود. آزمون های میانگین یک جامعه می‌تواند تصویر دقیقی از شکاف یا همخوانی میان داده‌های واقعی و مقدار معیار به دست دهد و پایه‌ای معتبر برای تصمیم‌گیری‌های آماری فراهم سازد.

فرضیات آماری در آزمون های میانگین:

• در آزمون دوطرفه، فرض صفر μ = μ₀ و فرض مقابل μ ≠ μ₀ است.
• در آزمون یک‌طرفه راست (Right-Tailed)، فرض صفر μ ≤ μ₀ و فرض مقابل μ > μ₀ خواهد بود.
• و در آخر آزمون یک‌طرفه چپ (Left-Tailed)، فرض صفر μ ≥ μ₀ و فرض مقابل μ < μ₀ است.

آماره آزمون در آزمون های میانگین:

• اگر انحراف معیار جامعه معلوم باشد، از توزیع نرمال استاندارد استفاده می‌شود.
• اگر انحراف معیار جامعه نامشخص باشد، از توزیع t استیودنت استفاده می‌شود.

مثال کاربردی آزمون های میانگین یک جامعه

در این بخش، با استفاده از داده‌های Employee data.sav که قبلا معرفی کردیم، به بررسی آزمون‌ های میانگین یک جامعه خواهیم پرداخت. برای مطالعه جزئیات بیشتر درباره روش‌های آماری توصیفی و نحوه استفاده از این داده‌ها، به صفحه تحلیل توصیفی در SPSS مراجعه کنید.

فرض کنید مدیر یک شرکت ادعا می‌کند که میانگین تجربه قبلی کارکنان برابر 100 ماه است (فرض صفر:μ=0). برای بررسی فرضیه مطرح شده به‌صورت زیر اقدام کنید.

• پس از اجرای نرم‌افزار SPSS، پنجره‌ای نمایش داده می‌شود که از طریق آن می‌توانید فایل داده‌های نمونه (Sample Data) را انتخاب کنید.

• وارد منوی Analyze شوید، گزینه Compare Means را بزنید و سپس روی One Sample T Test کلیک کنید.
• در پنجره باز شده متغیر Previous Experience را انتخاب کرده و به کادر روبه‌رو ببرید.
• عدد 100 را در کادر Test Value وارد کنید و سپس روی OK کلیک کنید.

در خروجی آزمون های میانگین دو جدول اصلی نمایش داده می‌شود. جدول اول شامل آمار توصیفی و اطلاعاتی نظیر تعداد داده‌ها، میانگین، انحراف معیار و خطای استاندارد میانگین است. این اطلاعات، پایه‌ی تحلیل برای انجام آزمون‌ های میانگین هستند و درک دقیق آن‌ها به تفسیر بهتر نتایج کمک می‌کند.

در جدول دوم، که مربوط به آمار استنباطی است، نتایج مربوط به آزمون t ارائه شده‌اند. این جدول شامل آماره آزمون t، درجه آزادی (df)، مقدار p یا معناداری، تفاوت میانگین نمونه با مقدار مفروض آزمون و نیز فاصله اطمینان برای این اختلاف می‌باشد.

• t (آماره آزمون t): این مقدار نشان می‌دهد میانگین نمونه چقدر از مقدار آزمون فاصله دارد.
• df (درجه آزادی): معمولاً برابر تعداد نمونه منهای یک است.
• Sig. (معنی‌داری دو دنباله): معنی‌داری اگر کمتر از 0.05 باشد، فرض صفر را رد می‌کنیم. در این مثال، مقدار p برابر با 0.389 است (بزرگتر از 0.05)، فرض صفر رد نمی‌شود. بعبارتی ادعای برابری میانگین تجربه قبلی کارکنان با 100 ماه را نمی‌توان رد کرد.
• Mean Difference (اختلاف میانگین نمونه با مقدار فرضی آزمون): در این مثال، این اختلاف برابر با 4.139- است.
• 95% Confidence Interval of the Difference (فاصله اطمینان ۹۵٪): اگر این بازه شامل صفر نباشد، تفاوت معنادار است. در اینجا فاصله اطمینان 95 درصدی برای اختلاف میانگین بین 13.58- و 5.30 است. و چون شامل صفر است، میانگین می‌تواند برابر 100 باشد.

استفاده از این دو جدول در کنار هم، تحلیل دقیق‌تری از آزمون‌ های میانگین در مطالعات آماری فراهم می‌آورد و به پژوهشگر کمک می‌کند تا تصمیم‌گیری مبتنی بر داده داشته باشد.

این دستور در نرم‌افزار SPSS برای انجام آزمون‌ های میانگین با دو دنباله استفاده می‌شود. در صورتی که قصد داشته باشید آزمون یک‌دنباله راست یا چپ برای میانگین انجام دهید، ابتدا باید مقدار معنی‌داری (p-value) آزمون دو دنباله را بر دو تقسیم کنید تا مقدار معنی‌داری آزمون یک‌دنباله به‌دست آید.

برای تفسیر نتایج آزمون یک‌دنباله، باید به علامت آماره آزمون توجه کنید. اگر آزمون یک‌دنباله راست باشد، آماره باید مثبت باشد و اگر آزمون یک‌دنباله چپ باشد، آماره باید منفی باشد. همچنین، مقدار معنی‌داری باید به صفر نزدیک باشد تا بتوان فرض صفر را با اطمینان رد کرد.

آزمون های میانگین دو جامعه

آزمون مقایسه میانگین دو جامعه یکی از رایج‌ترین آزمون‌ های میانگین در SPSS است که برای بررسی تفاوت بین دو گروه مستقل به‌کار می‌رود. هدف از انجام این آزمون، تعیین این است که آیا اختلاف میانگین دو جامعه، تصادفی و ناشی از خطای نمونه‌گیری است یا یک تفاوت واقعی وجود دارد.

پیش از اجرای آزمون‌ های میانگین در SPSS، رعایت برخی مفروضات آماری ضروری است تا نتایج تحلیل قابل استناد باشند. نخستین شرط، استقلال مشاهدات است یعنی داده‌های دو گروه نباید به یکدیگر وابسته باشند. در ادامه، باید به نرمال بودن توزیع داده‌ها توجه کرد. بدین معنا که متغیر مورد نظر باید در هر گروه به‌طور تقریبی دارای توزیع نرمال باشد، به‌ویژه زمانی که حجم نمونه کوچک است. یکی دیگر از الزامات مهم در اجرای آزمون‌ های میانگین، برابری واریانس‌ها بین دو گروه است.

برای بررسی شرط تساوی واریانس‌ها، در SPSS از آزمون لوین Levene استفاده می‌شود. اگر مشخص شود که واریانس‌ها یکسان نیستند، بهتر است از نسخه اصلاح‌شده این آزمون یعنی آزمون Welch استفاده شود که عدم برابری واریانس‌ها را در تحلیل در نظر می‌گیرد.

در آزمون لوین نیازی نیست که توزیع داده‌ها نرمال باشند. همچنین هنگامی که نمونه‌ها یکسان نباشند، می‌توان از این آزمون استفاده کرد. آماره آزمون لوین، F (فیشر) با درجه آزادی k-1 است.

فرضیات آزمون:

• فرض صفر (H0): میانگین دو جامعه برابر هستند (µ1 = µ2).
• فرض مقابل (H1): میانگین دو جامعه با یکدیگر متفاوت اند (µ1 ≠ µ2).

در صورتی که مقدار p-value کمتر از 0.05 باشد، فرض صفر رد می‌شود و نتیجه می‌گیریم که تفاوت معناداری بین میانگین دو جامعه وجود دارد.

آماره آزمون:

• اگر واریانس‌ها برابر باشند، از آماره t با واریانس معلوم σ استفاده می‌شود، که درجه آزادی آن برابر با n_1+n_2-2 است.
• اگر واریانس‌ها برابر نباشند، از آماره t با واریانس نامعلوم s استفاده می‌شود.

مثال کاربردی آزمون های میانگین دو جامعه

برای اجرای صحیح آزمون‌ های میانگین دو جامعه در SPSS، وجود دو نوع متغیر کمی و طبقه‌ای الزامی است. متغیر کمی همان متغیر وابسته است که میانگین آن در دو جامعه آماری مورد مقایسه قرار می‌گیرد. متغیر طبقه‌ای همان متغیر مستقل و متغیری است که جامعه ها را از یکدگیر متمایز می‌کند.

برای مثال، در فایل داده‌‌های معروف SPSS با نام Employee data.sav، فرض کنید قصد دارید بررسی کنید که آیا میانگین حقوق جاری بین زنان و مردان تفاوت معناداری دارد یا خیر. در اینجا، متغیر حقوق جاری (Current Salary) به‌عنوان متغیر کمی و وابسته، و متغیر جنسیت (Gender) به‌عنوان متغیر طبقه‌ای و مستقل عمل می‌کند. آزمون مقایسه میانگین، تفاوت بین میانگین حقوق دو گروه زن و مرد را تحلیل می‌کند و مشخص می‌سازد که آیا این تفاوت آماری قابل توجه است یا خیر.

 برای اجرای این نوع از آزمون‌ های میانگین در SPSS، مراحل زیر را دنبال کنید:

• ابتدا فایل داده‌ها را در SPSS باز کنید.
• از منوی Analyze گزینه Compare Means و سپس Independent-Samples T Test را بزنید.
• در پنجره باز شده،متغیر کمی را در بخش Test Variable(s) قرار دهید. و متغیر گروه‌بندی را در بخش Grouping Variable قرار دهید (جنسیت)، سپس روی Define Groups کلیک کرده و کد دو گروه (1 و 2) را وارد کنید.

• روی OK کلیک کنید.

پس از اجرای آزمون های میانگین دو جامعه، SPSS سه جدول ارائه می‌دهد.

• جدول اول Group Statistics، شامل آمار توصیفی و اطلاعاتی نظیر تعداد داده‌ها، میانگین، انحراف معیار و خطای استاندارد میانگین مربوط به دو نمونه است، که بر حسب دو گروه مرد و زن به‌صورت جداگانه نشان داده شده است.
• جدول دوم Independent Samples Test، نتایج آزمون t و آزمون Levene را ارائه می‌دهد. این جدول شامل دو بخش اصلی است که به ترتیب، برابری واریانس‌ها و تفاوت میانگین‌ها را بررسی می‌کند.

ستون‌های ابتدایی جدول با عنوان Levene’s Test for Equality of Variances ارائه شده‌اند. هدف این بخش، بررسی این موضوع است که آیا واریانس داده‌ها در دو گروه مورد مقایسه برابر است یا خیر (آزمون لوین). چون مقدار معنی‌داری بسیار کمتر از 0.05 است، فرض برابری واریانس‌ها رد می‌شود. در نتیجه باید برای تفسیر نتایج، از ردیف Equal variances not assumed استفاده شود.

در بخش دوم جدول، آزمون t برای مقایسه میانگین دو گروه ارائه شده است. این بخش شامل دو ردیف  Equal variances assumed (فرض برابری واریانس‌ها) و Equal variances not assumed (وقتی واریانس‌ها برابر نیستند) است. از آنجایی که طبق آزمون Levene، واریانس‌ها برابر نیستند، باید ردیف Equal variances not assumed مورد بررسی قرار گیرد.

• جدول سوم، مربوط به اندازه اثر (Effect Size) است که یکی از مهم‌ترین بخش‌های تحلیل نتایج آزمون‌ های میانگین محسوب می‌شود. آزمون t بررسی می‌کند که آیا تفاوت مشاهده‌شده بین دو میانگین، از نظر آماری معنادار است یا خیر. خروجی اصلی آن شامل مقدار t، درجه آزادی (df) و مقدار p-value است. اما اندازه اثر نشان می‌دهد این تفاوت چقدر اهمیت عملی یا واقعیت دارد. در واقع اندازه اثر با ارائه دو شاخص مهم، شدت واقعی تفاوت بین میانگین‌ها را نشان می‌دهد.

در آزمون‌ های میانگین، رایج‌ترین شاخص‌های اندازه اثر عبارتند از Cohen’s d (شدت تفاوت بین دو گروه را نشان می‌دهد) و Hedges’ g (برای نمونه کم یا واریانس‌های متفاوت). مقادیر آن‌ها به صورت تقریبی تفسیر می‌شود:

d = 0.2 → اثر کوچک

d = 0.5 → اثر متوسط

d = 0.8 و بالاتر → اثر بزرگ

اندازه اثر به‌ویژه در تحقیقاتی با حجم نمونه بالا یا پایین اهمیت دارد، زیرا ممکن است یک تفاوت کوچک به دلیل حجم زیاد داده‌ها از نظر آماری معنادار شود، ولی در واقعیت اهمیت چندانی نداشته باشد.

آزمون‌ های میانگین به‌ویژه آزمون مقایسه میانگین دو جامعه، ابزارهایی اساسی برای تحلیل تفاوت‌های آماری هستند. با استفاده صحیح از این آزمون‌ها در SPSS، پژوهشگران می‌توانند به نتایج دقیق و قابل استنادی برسند. تسلط بر مفاهیم و روش اجرای این آزمون‌ها نه‌تنها باعث افزایش کیفیت پژوهش می‌شود، بلکه تفسیر نتایج را برای مخاطبان علمی نیز روشن‌تر می‌سازد.

آزمون زوجی در SPSS (مهم‌ترین آزمون های میانگین)

در میان انواع مختلف آزمون‌ های میانگین، آزمون t زوجی یا Paired Samples t-test به‌عنوان یکی از پرکاربردترین روش‌های آماری شناخته می‌شود. این آزمون زمانی به کار می‌رود که هدف پژوهشگر، مقایسه میانگین یک متغیر کمی در دو وضعیت مختلف از یک جامعه واحد باشد. به‌عبارتی، آزمون t زوجی برای بررسی تأثیر یک مداخله، آموزش، درمان یا شرایط خاص روی یک گروه مورد استفاده قرار می‌گیرد.

برخلاف آزمون مقایسه میانگین دو جامعه مستقل که میانگین یک متغیر را در دو گروه متفاوت مقایسه می‌کند، آزمون t زوجی به بررسی تفاوت میان دو متغیر وابسته در یک گروه یکسان می‌پردازد. به همین دلیل، این آزمون در بررسی پایایی، پیش‌آزمون-پس‌آزمون و مطالعات طولی بسیار کاربرد دارد.

نکته مهم در استفاده از این نوع آزمون‌ های میانگین آن است که هر دو متغیر باید از نوع کمی (پیوسته) باشند و داده‌ها از نظر آماری به یکدیگر وابسته باشند. یعنی هر شرکت‌کننده دو نمره یا اندازه‌گیری مانند نمره قبل و بعد از یک دوره آموزشی داشته باشد.

برای اجرای صحیح و معتبر آزمون t زوجی که یکی از پرکاربردترین انواع آزمون‌ های میانگین است، رعایت چند پیش‌فرض آماری ضروری است.

• نرمال بودن توزیع تفاوت بین جفت داده‌ها، که با آزمون شاپیرو-ویلک یا کلموگروف اسمیرنوف قابل بررسی است. اگر مقدار p-value بیشتر از 0.05 باشد، فرض نرمال بودن تفاوت‌ها رد نمی‌شود و می‌توان با اطمینان از آزمون t زوجی استفاده کرد. در غیر این صورت، توصیه می‌شود از آزمون‌های ناپارامتری مانند آزمون ویلکاکسون استفاده شود.
• هر جفت داده باید مستقل از سایر شرکت‌کنندگان باشد و تنها به یک نمونه اختصاص داشته باشد.

مثال کاربردی آزمون زوجی

به‌عنوان یک نمونه عملی از به‌کارگیری آزمون‌ های میانگین به خصوص آزمون t زوجی در نرم ‌افزار SPSS، فرض کنید می‌خواهید بررسی کنید که حقوق اولیه با حقوق جاری تفاوت قابل توجهی ندارد. برای بررسی این ادعا،

• وارد نرم‌افزار SPSS شوید و فایل داده‌های Employee را باز کنید.
• از منوی Analyze ، روی Compare Means و سپس روی Paired-Samples T Test کلیک کنید.
• در پنجره باز شده، دو متغیر Current Salary و Beginning Salary را به کادر Paired Variables ببرید.
• روی دکمه OK کلیک کنید. تا SPSS نتایج آزمون های میانگین را ارائه دهد.

خروجی این تحلیل در SPSS شامل چهار جدول اصلی است که همگی در راستای اجرای آزمون های میانگین از نوع زوجی کاربرد دارند. جدول اول Paired Samples Statistics، شاخص‌های آماری چون میانگین، انحراف معیار و خطای استاندارد هر یک از متغیرها را به‌صورت جداگانه نمایش می‌دهد. در جدول دوم Paired Samples Correlations، میزان همبستگی بین دو متغیر جفتی نمایش داده می‌شود. که به ترتیب تعداد داده‌ها، ضریب همبستگی و معنی‌داری را برای ضریب همبستگی ارائه می‌دهد.

جدول سوم Paired Samples Test، مهم‌ترین جدول در این نوع از آزمون های میانگین است و شامل مقادیر آماری زیر است:

• Mean Difference: میانگین اختلاف بین دو وضعیت است.
• t: مقدار آزمون t را ارائه می‌دهد.
• df: درجه آزادی (معمولاً n – 1) را نشان می‌دهد.
• Sig. (2-tailed): سطح معناداری. اگر کمتر از 0.05 باشد، تفاوت میانگین معنادار تلقی می‌شود.
• 95% Confidence Interval: بازه اطمینان 95 درصدی برای تفاوت میانگین است.

در فرآیند اجرای آزمون‌ های میانگین، به‌ویژه آزمون t زوجی، تنها بررسی معناداری آماری (سطح p) کافی نیست. حتی اگر تفاوت میانگین‌ها معنادار باشد، باید بدانیم که این تفاوت چقدر بزرگ و مؤثر است. در همین راستا، خروجی SPSS بخشی به نام Paired Samples Effect Sizes ارائه می‌دهد که شامل اندازه اثر (Effect Size) برای آزمون زوجی است. این جدول اطلاعاتی حیاتی درباره قدرت و اهمیت عملی نتایج به ما می‌دهد.

جدول چهارم Paired Samples Effect Sizes، شامل دو شاخص اصلی Cohen’s d و Hedges’ correction است،که هر دو برای اندازه‌گیری شدت تفاوت بین دو میانگین استفاده می‌شوند. فاصله اطمینان 95 درصدی برای اندازه اثر نشان می‌دهد که با اطمینان 95 درصد، اندازه اثر واقعی در این محدوده قرار دارد، و همچنان در همه حالت‌ها بسیار بزرگ باقی می‌ماند.

در مجموعه آزمون‌ های میانگین، آزمون t زوجی یکی از ابزارهای کلیدی برای تحلیل داده‌های وابسته است. این آزمون به محققان اجازه می‌دهد تا تأثیر یک رویداد، مداخله یا عامل را بر متغیر مورد نظر خود در دو زمان یا وضعیت متفاوت ارزیابی کنند. اجرای صحیح این آزمون در SPSS و تفسیر دقیق خروجی‌های آن، پایه‌ای محکم برای گزارش‌های علمی و تصمیم‌گیری‌های آماری فراهم می‌سازد.

آزمون مقایسه میانگین چند جامعه (ANOVA)

یکی از قدرتمندترین آزمون‌ های میانگین، آزمون ANOVA یا تحلیل واریانس است که برای مقایسه میانگین چند جامعه آماری بسیار کاربرد دارد. بعبارتی تاثیر یک متغیر مستقل گروه‌بندی شده بر یک متغیر کمی وابسته را آزمون می‌کند. این آزمون زمانی به‌کار می‌رود که بخواهیم بدانیم آیا تفاوت معناداری بین میانگین سه یا بیشتر از سه گروه مستقل وجود دارد یا خیر. برخلاف آزمون t که فقط دو گروه را مقایسه می‌کند، آزمون ANOVA امکان بررسی هم‌زمان چند گروه را فراهم می‌آورد، بدون اینکه خطای نوع اول افزایش یابد.

در این آزمون باید متغیر وابسته کمی و متغیر مستقل گروه‌بندی دارای سطوح محدودی باشند.

فرضیات آزمون:

• فرض صفرH0 بیان می‌کند که بین میانگین‌های جوامع آماری تفاوتی وجود ندارد 𝜇1=𝜇2=𝜇3=…=𝜇𝑘.
• فرض مقابل H1، وجود حداقل یک تفاوت معنادار میان میانگین‌ها را مطرح می‌کند.

آماره آزمون:

در آزمون‌ های میانگین از آماره F برای سنجش تفاوت بین گروه‌ها استفاده می‌شود. اگر مقدار F محاسبه‌شده بیشتر از مقدار بحرانی جدول F باشد یا مقدار احتمال (p-value) کمتر از سطح معناداری تعیین‌شده (معمولاً ۰.۰۵) باشد، فرض صفر رد خواهد شد. این نتیجه نشان می‌دهد که میانگین حداقل یکی از گروه‌ها با سایر گروه‌ها تفاوت معناداری دارد و نمی‌توان گفت تمامی گروه‌ها از نظر میانگین یکسان هستند. استفاده از آزمون F در تحلیل واریانس یکی از مهم‌ترین روش‌ها در دسته‌بندی آزمون‌های میانگین برای بررسی اختلاف‌های آماری بین چند جامعه است.

مثال کاربردی آزمون ANOVA

به‌عنوان یک مثال کاربردی از آزمون‌ های میانگین و به‌ویژه آزمون ANOVA، فرض کنید قصد دارید بررسی کنید که آیا میانگین حقوق پرداختی به کارکنان در طبقات مختلف شغلی تفاوت معناداری دارد یا خیر. برای انجام این تحلیل در نرم‌افزار SPSS، می‌توانید مراحل زیر را دنبال کنید.

• از منوی Analyze، روی گزینه Compare Means و سپس روی One-Way ANOVA کلیک کنید، تا کادر زیرباز شود.

• متغیر Current Salary را به کادر Dependent List و متغیر Employment Category را به کادر Factor ببرید.
• برای بررسی تفاوت معنادار میان میانگین گروه‌ها به‌صورت دو به دو، در ادامه اجرای آزمون‌ های میانگین، روی گزینه Post Hoc کلیک کرده و آزمون Tukey را انتخاب نمایید. سپس با فشردن دکمه Continue، تنظیمات را ذخیره و به مرحله بعد بروید.
• در آخر برای انجام آزمون های میانگین از نوع ANOVA روی Ok بزنید.

سه جدول مهم به عنوان خروجی آزمون های میانگین از نوع ANOVA (تحلیل واریانس) در SPSS نمایش داده می‌شود. جدول اول، نتایج آزمون مقایسه میانگین سه جامعه را درباره هر گروه نشان می‌دهد. که شامل مجموع مربعات، درجه آزادی، میانگین مربعات، مقدار آماره آزمون F هستند. هدف این جدول، ارائه تصویری از توزیع و پراکندگی داده‌ها قبل از انجام آزمون نهایی است. در زمینه‌ی آزمون های میانگین، این جدول کمک می‌کند که درک بهتری از تفاوت میانگین‌ها بین گروه‌ها داشته باشیم.

جدول دوم، پس از آنکه آزمون های میانگین از نوع ANOVA وجود تفاوت معنادار در میانگین حقوق بین گروه‌های شغلی را تأیید کرد، برای مشخص شدن اینکه این تفاوت دقیقاً بین کدام گروه‌هاست، از آزمون تعقیبی Tukey HSD استفاده می‌شود. این جدول بخشی از فرآیند تحلیل آزمون های میانگین است که بررسی دقیق‌تر تفاوت میان گروه‌ها را ممکن می‌سازد. در این جدول، سه گروه شغلی Clerical (اداری)، Custodial (نگهبانی/خدماتی) و Manager (مدیران) با یکدیگر مقایسه شده‌اند.

جدول سوم، در ادامه‌ی اجرای آزمون های میانگین با روش ANOVA، جدول Homogeneous Subsets به کمک آزمون تعقیبی Tukey HSD ارائه می‌شود تا گروه‌هایی را که از نظر میانگین تفاوت معناداری با یکدیگر ندارند، در یک زیرمجموعه همگن قرار دهد. گروه‌های شغلی Clerical و Custodial در یک زیرمجموعه قرار گرفته‌اند، زیرا میانگین حقوق آن‌ها تفاوت معناداری ندارد. این یعنی طبق نتایج آزمون های میانگین، حقوق این دو گروه از نظر آماری مشابه است.

گروه شغلی Manager در زیرمجموعه جداگانه‌ای است، که میانگین حقوق آن به‌طور قابل توجهی بیشتر است (63,978). این نشان‌دهنده وجود تفاوت معنادار بین مدیران و دو گروه دیگر است.

استفاده از آزمون های میانگین با آزمون تعقیبی Tukey مشخص کرد که تنها مدیران با میانگین حقوقی بسیار بالاتر در یک گروه آماری مستقل قرار می‌گیرند، در حالی که گروه‌های اداری و خدماتی از نظر میانگین حقوق تفاوت معناداری ندارند.

جمع‌بندی

آزمون های میانگین در SPSS یکی از روش‌های مهم در تحلیل آماری هستند که برای مقایسه میانگین متغیرهای عددی بین دو یا چند گروه به‌کار می‌روند. این نوع آزمون‌ها به پژوهشگر امکان می‌دهند تا مشخص کند آیا تفاوت میانگین‌ها واقعی و معنادار است یا به‌سادگی ناشی از خطاهای تصادفی در نمونه‌گیری است. در تحقیقات علمی، سازمانی یا آموزشی، آزمون های میانگین نقش کلیدی در بررسی فرضیات آماری و تحلیل تفاوت‌های گروهی ایفا می‌کنند.

در SPSS، آزمون t برای دو گروه و آزمون ANOVA برای بیش از دو گروه به‌عنوان رایج‌ترین روش‌های آزمون های میانگین به‌کار می‌روند. خروجی این آزمون‌ها شامل جداولی مانند جدول آماره‌های توصیفی، جدول ANOVA، و آزمون‌های تعقیبی مانند Tukey است که در مجموع امکان تفسیر دقیق و قابل استناد نتایج را فراهم می‌سازند.

استفاده صحیح از آزمون های میانگین در SPSS می‌تواند نقش کلیدی در تصمیم‌گیری‌های علمی، سازمانی و تحقیقاتی ایفا کند. به‌ویژه زمانی که تحلیل تفاوت بین گروه‌های مختلف (مثلا بر اساس جنسیت، سطح تحصیلات یا موقعیت شغلی) مدنظر باشد. بنابراین، درک درست مفاهیم آماری و تفسیر دقیق خروجی‌ها، شرط اصلی استفاده موفق از آزمون های میانگین در محیط SPSS است.