سری زمانی واریانس همسان

در آموزش قبلی مفهوم سری زمانی به طور جامع بررسی شد، در این نوشته انواع فرآیندهای سری زمانی واریانس همسان از جمله فرآیند خودتوضیح AR، میانگین متحرک MA، فرآیند خودتوضیح میانگین متحرک ARMA و نحوه‌ی تعیین نوع فرآیند سری زمانی در نرم افزار ایویوز با استفاده از ریزبرنامه‌ی ARIMASel توسط گروه داده پردازی ایران آمار آموزش داده شده‌اند.

تعریف سری زمانی واریانس همسان

واریانس همسان (Homoscedasticity) به شرایطی اشاره دارد که در آن واریانس خطاهای مدل سری زمانی یا داده‌های مشاهده‌شده در طول زمان ثابت و بدون تغییر باقی می‌ماند. به عبارت دیگر، در صورتی که خطاهای مدل در طول زمان از نظر مقدار پراکندگی ثابت باشند، سری زمانی واریانس همسان دارد.

اهمیت سری زمانی واریانس همسان

واریانس همسان از این نظر اهمیت دارد که در مدل‌های سری زمانی اگر خطاها واریانس همسان داشته باشند، نتایج پیش‌بینی و تحلیل مدل به صورت صحیح‌تر و دقیق‌تری به دست می‌آید. تغییرات غیرهمسان واریانس (واریانس ناهمسان) می‌تواند منجر به بروز مشکلاتی در تفسیر مدل شود و پیش‌بینی‌ها را تحت تأثیر قرار دهد.

ریشه واحد در سری‌های زمانی

ریشه واحد (Unit Root) به وضعیتی اطلاق می‌شود که در آن یک سری زمانی دارای روند تصادفی و نایستا است. وجود ریشه واحد به این معناست که داده‌ها در طول زمان میانگین ثابتی ندارند و نوسانات آن‌ها به شکل پایدار نیست. سری‌های زمانی نایستا با ریشه واحد به طور معمول برای پیش‌بینی و تحلیل به تعدیل و مانا کردن نیاز دارند.

آزمون ریشه واحد

برای شناسایی ریشه واحد در سری‌های زمانی از آزمون‌های مختلفی مانند آزمون دیکی-فولر (ADF) و آزمون فیلیپس-پرون (PP) استفاده می‌شود. این آزمون‌ها به تحلیلگران کمک می‌کنند تا نایستایی سری زمانی را تشخیص دهند و در صورت لزوم داده‌ها را مانا کنند.

ارتباط سری زمانی واریانس همسان و ریشه واحد

وجود ریشه واحد و نایستایی در سری‌های زمانی ممکن است باعث شود واریانس داده‌ها به‌مرور زمان تغییر کند. سری‌های نایستا به دلیل وجود ریشه واحد معمولاً واریانس ناهمسان دارند. این امر منجر به بروز مشکلات در مدل‌سازی می‌شود، زیرا واریانس متغیر در طول زمان تحلیل نتایج را پیچیده‌تر می‌کند.

از سوی دیگر، اگر سری زمانی مانا باشد (یعنی ریشه واحد نداشته باشد)، به احتمال زیاد واریانس همسان خواهد بود. بنابراین، ارتباط مستقیمی میان واریانس همسان و ریشه واحد وجود دارد و بررسی همزمان این دو عامل در تحلیل سری‌های زمانی اهمیت ویژه‌ای دارد.

انواع سری زمانی واریانس همسان

فرآیندهای سری زمانی با فرض همسانی واریانس را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

فرآیند خودتوضیح (AR)

Autoregressive

2- فرآیند میانگین متحرک (MA)

Moving average

3- فرآیند خودتوضیح میانگین متحرک (ARMA)

Autoregressive Moving average

سری زمانی واریانس همسان خودتوضیح (AR)

مدل خودرگرسیونی (AR) نوعی سری زمانی واریانس همسان است که در آن مقدار فعلی یک متغیر به مقادیر گذشته خود وابسته است. مدل AR از پارامترهای خودرگرسیونی برای پیش‌بینی مقادیر آینده بر اساس داده‌های گذشته استفاده می‌کند. واریانس همسان در این مدل به این معناست که تغییرات واریانس در طول زمان ثابت است. در سری زمانی واریانس همسان، اگر مقادیر پیشین داده‌های یک متغیر (Laged values)، بتوانند تغییرات داده‌های زمان حال را توضیح دهند سری زمانی، فرآیند خودتوضیح نام دارد. فرمول فرآیند مدل خود توضیحی زیر را در نظر بگیرید:

در فرمول بالا متغیر X در زمان t توسط داده‌های زمان‌های گذشته‌ی خود متغیر تعریف شده شده است.

ویژگی‌های  اصلی سری زمانی خودتوضیح:

• واریانس ثابت در طول زمان.
• پیش‌بینی دقیق بر اساس اطلاعات گذشته.

کاربرد سری زمانی خودتوضیح:

• تحلیل داده‌های اقتصادی مانند تورم و نرخ بهره.
• مدل‌سازی رشد جمعیت.

سری زمانی واریانس همسان میانگین متحرک (MA)

مدل میانگین متحرک (MA) نیز یکی دیگر از سری‌های زمانی واریانس همسان است. در این مدل، مقدار فعلی یک متغیر بر اساس خطاهای گذشته پیش‌بینی می‌شود. این مدل به سادگی واریانس خطاها را به صورت همسان در نظر می‌گیرد و معمولاً در مدل‌سازی داده‌هایی با نویز ثابت به کار می‌رود. اگر مقادیر پیشین جملات خطای مدل (Laged values)،بتوانند تغییرات داده‌های زمان حال را توضیح دهند به سری زمانی،فرآیند میانگین متحرک گفته خواهد شد.فرمول فرآیند میانگین متحرک زیر را در نظر بگیرید:

در فرمول بالا متغیر X در زمان t توسط زمان‌های گذشته‌ی باقی‌مانده‌های متغیر ε تعریف شده است.

ویژگی‌های اصلی سری زمانی میانگین متحرک:

• استفاده از خطاهای گذشته برای پیش‌بینی.
• واریانس ثابت در خطاها.

کاربرد سری زمانی میانگین متحرک:

• تحلیل داده‌های فروش و تقاضا.
• مدل‌سازی نویزهای اقتصادی.

سری زمانی واریانس همسان خود توضیح میانگین متحرک ARMA

مدل ARMA (Autoregressive Moving Average) ترکیبی از مدل‌های خودرگرسیونی (AR) و میانگین متحرک (MA) است. این مدل برای سری‌های زمانی واریانس همسان مناسب است و می‌تواند رفتار متغیرها را بر اساس مقادیر گذشته و خطاهای گذشته توصیف کند. در این مدل، واریانس داده‌ها در طول زمان تغییر نمی‌کند و همسان باقی می‌ماند. اگر مقادیر پیشین جملات خطای مدل (Laged values) و وقفه‌های جمله‌ی خطا، بتوانند تغییرات داده‌های زمان حال را توضیح دهند سری زمانی را، فرآیند میانگین متحرک می‌نامند.

فرمول فرآیند خود توضیح میانگین متحرک زیر را در نظر بگیرید:

همانطور که در فرمول بالا مشاهده می شود متغیر X در زمان t توسط زمان های گذشته ی باقی مانده های متغیر ε و زمان های گذشته ی خود متغیر تعریف شده است.

ویژگی‌های اصلی سری زمانی خود توضیح میانگین متحرک:

• استفاده از خطاهای گذشته برای پیش‌بینی.
• واریانس ثابت در خطاها.

کاربرد سری زمانی خود توضیح میانگین متحرک:

• تحلیل داده‌های فروش و تقاضا.
• مدل‌سازی نویزهای اقتصادی.

سری زمانی واریانس همسان  ARIMA

مدل ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) نسخه‌ای تعمیم‌یافته از ARMA است که برای سری‌های زمانی نایستا که نیاز به ایستاسازی دارند، استفاده می‌شود. پس از ایستاسازی، سری‌های زمانی با این مدل دارای واریانس همسان می‌شوند. این مدل از پرکاربردترین مدل‌ها در پیش‌بینی سری‌های زمانی مختلف است.

ویژگی‌های اصلی سری زمانی ARIMA:

• ترکیب خودرگرسیونی و میانگین متحرک با ایستاسازی.
• واریانس همسان پس از ایستاسازی داده‌ها.

کاربرد سری زمانی ARIMA:

• پیش‌بینی روندهای اقتصادی.
• تحلیل سری‌های زمانی دما و بارش.

سری زمانی واریانس همسان فصلی

سری‌های زمانی فصلی (Seasonal Time Series) نوعی سری زمانی واریانس همسان هستند که در آن‌ها داده‌ها در دوره‌های زمانی مشخص (مانند ماه‌ها یا فصل‌ها) تکرار می‌شوند. این سری‌ها معمولاً دارای نوسانات ثابت و تکراری در طول زمان هستند و واریانس همسان دارند.

ویژگی‌های اصلی سری زمانی فصلی:

• تکرار الگوهای زمانی در دوره‌های مشخص.
• واریانس ثابت و الگوی منظم.

کاربرد سری زمانی فصلی:

• پیش‌بینی تقاضای محصولات فصلی.
• تحلیل داده‌های دما و بارش.

تعیین نوع فرآیند سری زمانی واریانس همسان در ایویوز

برای تعیین نوع فرآیند یک سری زمانی در ایویوز ساده‎‌ترین و دقیق‎ترین روش اجرای یک افزونه یا زیربرنامه ارائه شده توسط نرم افزار ایویوز EViews است. به منظور دانلود این پلاگین باید وارد سایت اصلی نرم افزار ایویوز شد و از تب User Community/EViews Add-in  وارد صفحه ریز برنامه‌‎های ایویوز شد. از مسیر لینک گذاشته شده در اینجا مستقیم به صفحه ریزبرنامه ایویوز وارد شوید. برای دانلود ریزبرنامه‌ی ARIMASel با لینک مستقیم از اینجا اقدام کنید. در جدولی مانند تصویر زیر از بخش Title ریزبرنامه به نام ARIMASel را انتخاب کنید و مستقیم دانلود کنید.

بعد از دانلود در سیستم خود ریز برنامه را پیدا کنید و روی آن کلیک کنید. ریز برنامه را نصب کنید.

نحوه‌ی استفاده از ریز برنامه‌ی ARIMASel

پوشه‌ی سری زمانی که می‌خواهید فرآیند آن را بررسی کنید باز کنید. از مسیر Proc/Add-ins/Automatic ARIMA selection در پنجره‌ای که باز می‌شود بدون تغییر OK کنید. در پنجره‌ی کوچکی که باز شده است پارامترهای بهترین ترکیب ارائه شده است.

ok  را بزنید و مانند تصویر زیر دو جدول باز خواهد شد:

تحلیل خروجی زیربرنامه‌ی ARIMASel

تصویر بالا خروجی انواع فرآیندهای سری زمانی را نمایش می‌دهد. در تصویر بالا دو قسمت هایلایت شده است و مشخص است که یک بار از متغیر سری زمانی D(TSE,1) تفاضل‌گیری شده است. بازه‌ی زمانی که متفاوت با بازه‌ی سری زمانی اصلی است و دلیل آن اعمال جملات خودتوضیح است.

در جدول معناداری تصویر بالا AR(1) و AR(2) معنادارند چون Prob آن‌ها زیر 0.05 است. در نتیجه فرآیند این سری‌زمانی بعد از یکبار تفاضل‌گیری AR(2) است.

سری‌های زمانی با واریانس همسان نقش مهمی در تحلیل داده‌ها دارند. این سری‌ها به دلیل ثبات و پایداری در واریانس، امکان پیش‌بینی دقیق‌تر و ساده‌تری را فراهم می‌کنند. مدل‌هایی مانند AR، MA، ARMA، و ARIMA از جمله مدل‌های پرکاربرد در این زمینه هستند. سری‌های زمانی فصلی نیز با الگوهای تکراری و واریانس ثابت به تحلیل داده‌های فصلی کمک می‌کنند.

کاربردهای سری زمانی واریانس همسان و ریشه واحد در مدل‌سازی

پیش‌بینی اقتصادی

در مدل‌های اقتصادی مانند پیش‌بینی تورم یا تولید ناخالص داخلی (GDP)، واریانس همسان در داده‌های زمانی منجر به پیش‌بینی دقیق‌تر و مدل‌های پایدارتر می‌شود. در این موارد، شناسایی ریشه واحد و مانا کردن سری زمانی به تحلیلگران کمک می‌کند تا مدل‌های بهتری برای پیش‌بینی ایجاد کنند.

تحلیل بازارهای مالی

در بازارهای مالی مانند تحلیل قیمت سهام یا نرخ ارز، وجود ریشه واحد به معنای نایستایی سری زمانی است و نوسانات شدید ممکن است به واریانس ناهمسان منجر شود. با استفاده از تکنیک‌های مانا کردن سری‌های زمانی، تحلیلگران می‌توانند سری‌های واریانس همسان را شناسایی کنند و نوسانات کوتاه‌مدت و بلندمدت را بهتر پیش‌بینی کنند.

مهندسی و علوم طبیعی

در علوم طبیعی و مهندسی، داده‌های مربوط به تغییرات جوی یا عملکرد سیستم‌های صنعتی معمولاً به صورت سری زمانی ثبت می‌شوند. واریانس همسان در این داده‌ها به معنای پایداری سیستم و قابلیت پیش‌بینی بهتر در شرایط مختلف است.

روش‌های مانا کردن سری زمانی واریانس همسان

برای از بین بردن ریشه واحد و مانا کردن سری‌های زمانی می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد که به شرح زیر است:

• تفاضل‌گیری: یکی از ساده‌ترین روش‌ها برای مانا کردن سری زمانی، تفاضل‌گیری از داده‌ها است. این روش کمک می‌کند تا سری‌های نایستا به سری‌های مانا تبدیل شوند و واریانس همسان ایجاد شود.

• تبدیل‌های لگاریتمی: تبدیل لگاریتمی می‌تواند واریانس داده‌ها را کاهش داده و سری را به سمت واریانس همسان هدایت کند.

• مدل‌های ARCH/GARCH: در مواردی که واریانس ناهمسان وجود دارد، استفاده از مدل‌های ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) و GARCH (Generalized ARCH) می‌تواند کمک کند تا نوسانات واریانس در طول زمان به‌طور بهینه مدل‌سازی شود.

واریانس همسان و ریشه واحد از مهم‌ترین مفاهیم در تحلیل سری‌های زمانی هستند. واریانس همسان به معنای ثبات و پایداری پراکندگی داده‌ها در طول زمان است و ریشه واحد به نایستایی سری زمانی اشاره دارد. در تحلیل سری‌های زمانی، شناسایی و مانا کردن سری‌های نایستا و بررسی واریانس همسان به تحلیلگران کمک می‌کند تا مدل‌های بهتری ایجاد کرده و پیش‌بینی‌های دقیق‌تری انجام دهند. این فرآیندها در حوزه‌هایی مانند اقتصاد، مالی، مهندسی و علوم طبیعی کاربرد گسترده‌ای دارند.

با لینک زیر می‌توانید به صفحه‌ی آموزش نرم افزار ایویوز  EViews ارائه شده به صورت رایگان، جامع و گام به گام  توسط گروه داده پردازی ایران آمار بروید.