مانایی

مانایی (Stationarity) یکی از مهم‌ترین مفاهیم در تحلیل سری‌های زمانی است که به ویژگی‌های ثابت داده‌ها در طول زمان اشاره دارد. در بسیاری از مدل‌های سری زمانی، فرض بر این است که سری‌های زمانی مانا هستند. مانایی به معنای آن است که توزیع داده‌ها در طول زمان تغییر نکند، به عبارت دیگر، میانگین و واریانس سری زمانی در طول زمان ثابت باقی بماند. یکی از چالش‌های مهم در تحلیل سری‌های زمانی، بررسی وجود ریشه واحد (Unit Root) است که می‌تواند به نایستایی سری‌ها منجر شود.

تعریف مانایی (پایایی ایستایی)

مانایی به ویژگی یک سری زمانی اطلاق می‌شود که در آن میانگین، واریانس و ساختار خودهمبستگی در طول زمان ثابت باقی می‌مانند. سری‌های زمانی مانا برای پیش‌بینی و مدل‌سازی بسیار مفید هستند، چرا که الگوها و رفتارهای گذشته می‌توانند به درستی برای پیش‌بینی آینده استفاده شوند.

در این آموزش مفهوم مانایی و یا پایایی، ایستایی را بررسی و با مفهوم رگرسیون کاذب آشنا شده و نحوه‌ی گرفتن آزمون ریشه واحد، آزمون دیکی فولر تعمیم یافته (ADF)، آزمون unit root test ، آزمون فیلیپس پرون (PP) و تعیین درجه انباشتگی در نرم افزار ایویوز EViews بررسی کرده‌ایم.

برای درک کامل و دقیق‌تر مفاهیم مانایی، قبل از شروع این آموزش پیشنهاد ایران آمار این است که مفاهیم انواع داده‌ها در اقتصاد، داده‌های سری زمانی، نحوه‌ی جمع‌آوری داده‌های مالی و اقتصادی و نحوه‌ی وارد کردن داده‌ها در ایویوز  که قبلا در همین وبسایت آموزش داده شده‌اند را مطالعه نمایید.

مفاهیم مانایی، پایایی و ایستایی سری‌زمانی یک مفهوم دارند و هر سه در زبان لاتین معادل لغت Stationary هستند.

تمام تعاریف زیر مفهوم پایایی را بیان می‌کنند:

• سری زمانی‌ای که ریشه‌ی واحد ندارد.
• فرآیندی که توزیع مقادیر آن در طول زمان ثابت است.
• متغیری که شوک وارد شده زمانی را در خود حل کند.
• متغیری که اثرات شوک را در طول زمان از بین ببرد.
• در صورتی که طول دوره زمانی به سمت بی‌نهایت فرض شده باشد، گشتاورهای نمونه به سمت مقادیر جامعه میل کند.
• در سری پایا میانگین و واریانس متغیرها در طول زمان و کوواریانس متغیرها بین سال‌هاي مختلف ثابت بوده است .
• داده‌هایی مانا هستند که در طول زمان میانگین، واریانس و خودکواریانس‌شان در طول وقفه‌های یکسان با هم برابرند.

اگر به مرور به زمان گذشته برویم، اندازه‌ی ضرایب فرآیند خودتوضیح (آموزش فرآیند های سری زمانی) کم‌تر شود، بدین معناست که جملات قدیمی تاثیر کم‌تری در توضیح تغییرات متغیر وابسته دارند. تایید پایایی یک فرآیند تصادفی اجازه‌ی انجام فرض‌های آماری را صادر می‌کند و به عنوان اولین آزمون برای سری‌های زمانی باید بررسی شود. مفهوم ایستایی سري‌هاي زمانی در انتخاب مدل آماري تاثیر زیادي دارد.

به عنوان مثال اگر تمام متغیرها مانا باشند می‌توان از رگرسیون حداقل مربعات استفاده کرد. در متغیرهای سری زمانی، مانایی به عنوان یکی از ویژگی‌های مهم مورد در انجام مدل رگرسیونی است. مانایی به معنای پایداری و قابل اعتماد بودن سری‌زمانی است. زمانی که یک سری زمانی مانا است، الگوها، روندها و ویژگی‌های آماری در طول زمان تغییر کمی دارند و می‌توان به نتایج رگرسیون اعتماد کرد.

سری‌های زمانی مانا به سه دسته کلی تقسیم می‌شوند:

• مانایی قوی (Strict Stationarity): سری زمانی که توزیع مشترک هر زیرمجموعه از داده‌ها در هر بازه زمانی ثابت است.
• مانایی ضعیف (Weak Stationarity): سری زمانی که میانگین، واریانس و خودهمبستگی آن در طول زمان ثابت است.
• مانایی فصلی (Seasonal Stationarity): سری زمانی که الگوهای آن در دوره‌های زمانی خاص (مثل ماهانه یا سالانه) تکرار می‌شوند.

اهمیت مانایی در تحلیل سری‌های زمانی

مانایی یکی از پیش‌نیازهای اصلی برای بسیاری از مدل‌های آماری و اقتصادسنجی است. دلیل اصلی این است که مدل‌های سری زمانی مانند ARIMA و VAR فرض می‌کنند که سری داده‌ها مانا هستند. در صورت نایستایی، این مدل‌ها عملکرد خوبی نخواهند داشت و پیش‌بینی‌های نادرستی ارائه خواهند داد. به همین دلیل، بررسی مانایی قبل از مدل‌سازی و پیش‌بینی از اهمیت بالایی برخوردار است.

برخی از دلایل اهمیت مانایی عبارت‌اند از:

• پیش‌بینی‌های بهتر: سری‌های زمانی مانا الگوهای پایدارتری دارند که پیش‌بینی‌های آینده را بهبود می‌بخشند.
• پرهیز از کاذب بودن روابط: نایستایی ممکن است منجر به یافتن روابط کاذب بین متغیرها شود، که در واقع وجود ندارند.
• سهولت در تحلیل آماری: مدل‌سازی سری‌های زمانی مانا ساده‌تر است و نتایج قابل اعتماد‌تری ارائه می‌دهد.

ریشه واحد چیست؟

ریشه واحد یکی از عوامل اصلی نایستایی در سری‌های زمانی است. اگر یک سری زمانی دارای ریشه واحد باشد، این به معنای آن است که سری زمانی نایستا است و باید از روش‌های خاصی برای تبدیل آن به یک سری مانا استفاده شود. به عبارت دیگر، وجود ریشه واحد به معنای آن است که تغییرات بلندمدت سری زمانی در طول زمان ناپایدار است.

آزمون‌های مانایی

برای تشخیص وجود ریشه واحد در یک سری زمانی، از آزمون‌های مختلفی استفاده می‌شود. این آزمون‌ها به تحلیلگران کمک می‌کنند تا مشخص کنند آیا یک سری زمانی مانا است یا خیر. مهم‌ترین آزمون‌های ریشه واحد عبارت‌اند از:

• آزمون دیکی-فولر (ADF): این آزمون یکی از پرکاربردترین آزمون‌ها برای بررسی وجود ریشه واحد است. این آزمون با فرضیه صفر مبنی بر وجود ریشه واحد اجرا می‌شود و اگر این فرضیه رد شود، سری زمانی مانا است.
• آزمون فیلیپس-پرون (PP): این آزمون مشابه آزمون ADF است، اما به صورت دقیق‌تری به تحلیل ریشه واحد پرداخته و نتایج آن در برخی موارد دقیق‌تر است.
• آزمون KPSS: برخلاف دو آزمون قبل، این آزمون فرضیه صفر را بر مانا بودن سری زمانی قرار می‌دهد. اگر فرضیه صفر رد شود، سری زمانی نایستا است.

رگرسیون کاذب چیست؟ نامانایی

اگر سری زمانی‌ای قرار گرفته در مدل ناپایا باشد، نتایج خروجی مدل (تحلیل خروجی مدل در ایویوز) با ضریب تعیین بالا و آماره‌ی دوربین واتسون پایین گزارش خواهد شد. در تصویر زیر سری زمانی ناپایا و پایا را به ترتیب آورده شده است. در سری زمانی نامانا جهش شدید در دو مقطع مشاهده شده است که با تایید آزمون‌های ریشه واحد می‌توان گفت که سری زمانی پایا نیست.

تعیین درجه انباشتگی سری‌زمانی

در پژوهش‌های سری زمانی برای پایایی (ایستایی) مقدار احتمال آزمون ریشه واحد بررسی خواهد شد. در آزمون‌های ریشه واحد فرض صفر وجود ریشه واحد (نامانایی) و فرض مقابل پایایی است. اگر فرض آزمون رد شود سری دارای ریشه واحد است و مانا نیست.

برای تعیین ریشه واحد از آزمون‌های فیلیپس پرون (PP) و دیکی فولر تعمیم یافته (ADF) مورد استفاده قرار می‌گیرند. تفاوت این دو آزمون این است که آزمون فیلیپس پرون (PP) توانایی تشخیص شکست ساختاری را دارد اما آزمون دیکی فولر تعمیم یافته (ADF) توانایی تشخیص شکست ساختاری را ندارد.

انجام آزمون مانایی در نرم افزار ایویوز

بعد از وارد کردن داده‌های سری زمانی (نحوه ی وارد کردن داده به نرم افزار ایویوز)، دو بار روی متغیر کلیک کرده تا مقادیر متغیر نشان داده شود. در ادامه  از  مسیر View/Unit Root Test در پنجره ی باز شده از قسمت Test Type در در نرم افزار ایویوز EViews یکی از دو آزمون دیکی فولر و یا فیلیپس پرون انتخاب شود.

در قسمت Test for unit root in سطح داده‌های مورد استفاده را ابتدا روی Level قرار داده و دکمه ok را می‌زنیم.

بررسی نتایج آزمون مانایی در نرم افزار ایویوز

در تصویر بالا و انجام مراحل یک تا سه، نرم‌افزار برای آزمون unit root test مقدار احتمال و آماره‌ی آزمون را خروجی داده است. اگر در پنجره‌ی باز شده مقدار Prob  کم تر از 0.05 بود، فرض صفر آزمون که ناپایایی است رد می‌شود و متغیر مانا است یا درجه انباشنگی متغیر صفر و از مرتبه ی I(0) است.

اما در عکس بالا متغیر سری‌زمانی  COIN آزمون شده و مقدار احتمال آزمون دیکی فولر (Prob)  عدد 0.9999  شده است پس آماره‌ی آزمون معنادار نیست و متغیر انباشته از درجه ی صفر نیست. به همین دلیل لازم است پایایی متغیر در تفاضل مرتبه‌ی اول بررسی شود.

اگر نمودار سری زمانی بدون عرض از مبدا و روند باشد در قسمت Test for unit root in سطح داده های مورد استفاده این بار روی 1st difference قرار داده می‌شود. نرم افزار ایویوز EViews یک بار از داده‌های سری زمانی تفاضل‌گیری می‌کند (در ادامه نحوه‌ی تفاضل‌گیری آموزش داده شده است) و مجددا ازمون را با داده‌های تفاضل‌گیری شده انجام می‌دهد.

آزمون مانایی با تفاضل‌گیری در ایویوز

با توجه به تصویر بالا، نرم‌افزار ایویوز برای آزمون unit root test با تفاضل مرتبه‌ی اول خروجی داده است. چنان‌چه در پنجره ی باز شده مقدار Prob  کم تر از 0.05 بود آماره‌ی آزمون معنادار و درجه‌ی انباشتگی  از مرتبه ی I(1) است. در این سری زمانی آزمون شده مقدار Prob عدد 0.9237  است، در نتیجه آماره‌ی آزمون معنادار نیست و سری داده‌ها انباشته از درجه‌ی یک نیست.

به همین دلیل لازم است پایایی آن در تفاضل مرتبه ی دوم بررسی شود. اگر نمودار بدون عرض از مبدا و روند باشد در قسمت Test for unit root in سطح داده‌های مورد استفاده این بار روی 2nd difference قرار داده می‌شود. با این کار نرم افزار ایویوز EViews دوباره از داده‌ها تفاضل‌گیری و مجددا ازمون را با داده‌های تفاضل‌گیری شده انجام می‌دهد.

آزمون ریشه واحد با تفاضل‌گیری مرتبه دوم در ایویوز

با توجه به تصویر بالا و انجام مراحل یک تا سه، نرم‌افزار برای آزمون unit root test با دو بار تفاضل‌گیری خروجی داده‌ است. در پنجره‌ی باز شده نرم‌افزار در صورتی که مقدار Prob  کم تر از 0.05 باشد آماره‌ی آزمون معنادار و درجه‌ی انباشتگی سری از مرتبه ی I(2) است. در سری آزمون شده مقدار Prob عدد 0.0001 است و آماره‌ی آزمون معنادار و در نتیجه سری زمانی انباشته از درجه‌ی دو است.

مراحل آزمون ریشه واحد آزمون فیلیپس پرون

ابتدا داده‌ها در سطح (Level) بدون هیچ‌گونه تفاضل‌گیری آزمون می‌شوند. اگر آماره‌ی آزمون معنادار بود (Prob کمتر از صفر)، انباشته از مرتبه ی I(0) است. در صورتی که فرض صفر آزمون رد نشد و متغیر در سطح نامانا بود، از داده‌ها یک بار تفاضل گرفته و آزمون دوباره انجام می‌شود.

در این مرحله اگر آزمون معنادار بود (Prob کمتر از صفر)، انباشته از مرتبه‌ی I(1) است. اگر فرض صفر رد نشد مجددا از متغیر تفاضل گرفته و این کار را P بار ادامه داده، تا سری مانا با مرتبه‌ی P حاصل شود. حال متغیر سری زمانی مانا با درجه انباشتگی P است.

روش‌های تبدیل سری نایستا به مانا

در صورتی که یک سری زمانی نایستا باشد، می‌توان با روش‌های مختلفی آن را به یک سری مانا تبدیل کرد. برخی از این روش‌ها عبارت‌اند از:

• تفاضل‌گیری (Differencing): یکی از روش‌های ساده برای تبدیل سری نایستا به مانا، تفاضل‌گیری از سری زمانی است. به این معنا که تغییرات سری به جای مقادیر اصلی آن مورد تحلیل قرار می‌گیرد.
• استفاده از لگاریتم: اگر نوسانات سری زمانی به دلیل تغییرات مقیاس باشند، استفاده از لگاریتم مقادیر سری می‌تواند آن را به یک سری مانا تبدیل کند.
• حذف روند (Detrending): در صورتی که سری زمانی دارای روند باشد، حذف آن می‌تواند سری را مانا کند.

تفاضل‌گیری برای پایایی

اگر سری زمانی با توجه به مقدار احتمال آزمون ریشه واحد نامانا بود برای برطرف کردن باید از تفاضل متغیر استفاده شود. مقدار دومین داده‌ی سری زمانی را از داده‌ی اول باید کم کرد. تا آخرین داده تفاضل‌گیری ادامه داده می‌شود. در هر بار تفاضل‌گیری مقدار یک داده از سری زمانی را از دست می‌رود.

در تصویر زیر مقدار متغیر در سال 1391 و 1392به ترتیب برابر 10 و 12 است. برای تفاضل‌گیری باید مقدار متغیر سال 1392 از مقدار متغیر در سال 1391 کم شود که نتیجه برابر با 2 خواهد شد. عدد 2 که حاصل تفاضل مقدار متغیر در سال 1391 و 1392 است حالا به مقدار متغیر در سال 1392 تبدیل شده است. این عمل را تا آخرین سال ادامه داده تا سری زمانی متغیر تفاضل کامل شود.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در تحلیل سری‌های زمانی

مانایی و ریشه واحد مفاهیمی کلیدی در تحلیل سری‌های زمانی هستند که در بسیاری از حوزه‌ها کاربرد دارند. این مفاهیم به‌ویژه در علوم اقتصادی، مالی، اجتماعی و حتی علوم طبیعی و مهندسی بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرند. تحلیلگران و محققان با استفاده از این مفاهیم می‌توانند به درک بهتری از رفتار داده‌ها در طول زمان برسند و مدل‌های پیش‌بینی دقیق‌تری ایجاد کنند.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در اقتصاد

در علم اقتصاد، داده‌های سری زمانی مانند تولید ناخالص داخلی (GDP)، نرخ تورم، نرخ بیکاری و نرخ بهره به‌طور مکرر مورد تحلیل قرار می‌گیرند. وجود ریشه واحد در داده‌های اقتصادی به معنای نایستایی آن‌ها است، که می‌تواند باعث به وجود آمدن نتایج نادرست در مدل‌سازی‌های آماری و اقتصادسنجی شود.

مثال‌های کاربردهای مانایی و ریشه واحد در اقتصاد:

• مدل‌سازی رشد اقتصادی: در تحلیل رشد اقتصادی بلندمدت، بررسی مانایی داده‌های GDP اهمیت دارد. اگر GDP نایستا باشد، پیش‌بینی رشد اقتصادی آینده دقت چندانی نخواهد داشت. با بررسی ریشه واحد و تبدیل سری به مانا، تحلیلگران می‌توانند نتایج بهتری به دست آورند.
• تحلیل تورم: نرخ تورم یکی از شاخص‌های اقتصادی مهم است که معمولاً دارای ریشه واحد است. تحلیلگران با تفاضل‌گیری و حذف ریشه واحد می‌توانند سری‌های زمانی مانا ایجاد کنند که به پیش‌بینی دقیق‌تری از تورم منجر می‌شود.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در مالی

بازارهای مالی به دلیل ماهیت پویا و نوسانی خود، به طور گسترده از تحلیل‌های سری زمانی استفاده می‌کنند. داده‌های مالی مانند قیمت سهام، نرخ ارز، نرخ بهره و سود بانکی معمولاً نایستا هستند و دارای ریشه واحد می‌باشند. تحلیلگران مالی با بررسی و تشخیص ریشه واحد می‌توانند الگوهای زمانی موجود در این داده‌ها را بهتر درک کنند و پیش‌بینی‌های دقیق‌تری انجام دهند.

مثال‌های کاربردهای مانایی و ریشه واحد در مالی:

• پیش‌بینی قیمت سهام: در بازار بورس، قیمت سهام اغلب نایستا نیست و تحت تأثیر عوامل متعددی تغییر می‌کند. با استفاده از آزمون‌های ریشه واحد مانند آزمون دیکی-فولر (ADF)، می‌توان نایستایی قیمت‌ها را شناسایی کرده و سپس از روش‌های مختلف برای مانا کردن داده‌ها استفاده کرد. این فرآیند به پیش‌بینی دقیق‌تر قیمت‌ها در آینده کمک می‌کند.
• تحلیل نرخ ارز: نرخ ارز در اقتصاد جهانی نقش مهمی دارد و اغلب تحت تأثیر عوامل خارجی نوسانات شدیدی دارد. با استفاده از تکنیک‌های مانا کردن داده‌ها، تحلیلگران می‌توانند نوسانات کوتاه‌مدت و بلندمدت را به‌خوبی تشخیص دهند و روابط بین نرخ ارز و سایر متغیرهای اقتصادی را تحلیل کنند.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در علوم اجتماعی

علوم اجتماعی نیز به‌طور گسترده از سری‌های زمانی برای تحلیل رفتارهای انسانی و اجتماعی استفاده می‌کند. در این حوزه، داده‌های مربوط به شاخص‌های اجتماعی، جمعیت‌شناسی، آموزش و حتی رفتارهای مصرف‌کنندگان به‌صورت سری‌های زمانی جمع‌آوری می‌شوند. بسیاری از این سری‌ها نایستا هستند و وجود ریشه واحد در آن‌ها مشاهده می‌شود.

مثال‌های کاربردهای مانایی و ریشه واحد در علوم اجتماعی:

• تحلیل رفتار مصرف‌کننده: رفتار مصرف‌کنندگان معمولاً نایستا است و تحت تأثیر تبلیغات، نوآوری‌های تکنولوژیکی و تغییرات اقتصادی تغییر می‌کند. تحلیلگران با استفاده از آزمون‌های ریشه واحد می‌توانند رفتارهای پایدارتر را از نوسانات موقتی تشخیص دهند.

• پیش‌بینی روندهای جمعیت‌شناسی: در تحلیل‌های جمعیت‌شناسی، مانند پیش‌بینی رشد جمعیت یا تغییرات در نرخ زاد و ولد، وجود ریشه واحد می‌تواند به نایستایی داده‌ها منجر شود. تفاضل‌گیری و مانا کردن داده‌ها کمک می‌کند تا روندهای بلندمدت دقیق‌تری ارائه شود.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در مهندسی و علوم طبیعی

در علوم طبیعی و مهندسی، بسیاری از داده‌ها به‌صورت سری زمانی جمع‌آوری می‌شوند. در این حوزه‌ها، تحلیل مانایی برای پیش‌بینی رفتار سیستم‌ها و فرآیندهای فیزیکی اهمیت دارد. داده‌های مربوط به دما، فشار، سرعت باد و حتی عملکرد سیستم‌های پیچیده صنعتی معمولاً به‌صورت نایستا هستند و ریشه واحد دارند.

مثال‌های کاربردهای مانایی و ریشه واحد در مهندسی:

• پیش‌بینی شرایط جوی: داده‌های مربوط به تغییرات جوی و اقلیمی معمولاً دارای ریشه واحد هستند. برای پیش‌بینی دقیق‌تر تغییرات دما، فشار هوا و سایر پارامترهای جوی، لازم است که سری‌های زمانی مانا شوند.

• تحلیل عملکرد سیستم‌های صنعتی: در مهندسی صنایع، داده‌های عملکرد سیستم‌ها مانند تولید، کیفیت و زمان‌بندی به‌صورت سری زمانی ثبت می‌شوند. وجود نایستایی در این داده‌ها می‌تواند منجر به اشتباهات جدی در تحلیل‌های مربوط به بهینه‌سازی و پیش‌بینی عملکرد سیستم‌ها شود. با بررسی مانایی و حذف ریشه واحد، تحلیلگران می‌توانند نتایج بهتری در بهبود عملکرد سیستم‌ها به دست آورند.

کاربردهای مانایی و ریشه واحد در داده‌کاوی و یادگیری ماشین

در حوزه‌های داده‌کاوی و یادگیری ماشین، مانایی و ریشه واحد به‌ویژه در تحلیل‌های مبتنی بر داده‌های زمانی مورد استفاده قرار می‌گیرند. مدل‌های پیش‌بینی‌کننده که با داده‌های سری زمانی کار می‌کنند، نیاز به داده‌های مانا دارند. وجود ریشه واحد در سری زمانی می‌تواند باعث کاهش دقت مدل‌های یادگیری ماشین شود.

مثال‌های کاربردهای مانایی و ریشه واحد در داده‌کاوی:

• پیش‌بینی تقاضا: در بسیاری از سیستم‌های مبتنی بر داده‌کاوی، مانند سیستم‌های مدیریت زنجیره تأمین یا فروشگاه‌های آنلاین، پیش‌بینی تقاضای کالاها از اهمیت بالایی برخوردار است. سری‌های زمانی مربوط به تقاضا معمولاً نایستا هستند و با شناسایی ریشه واحد و تبدیل آن‌ها به سری‌های مانا، پیش‌بینی‌های دقیق‌تری امکان‌پذیر خواهد بود.

• مدل‌های خودبازگشتی: در یادگیری ماشین، مدل‌های خودبازگشتی (AR) برای پیش‌بینی داده‌های زمانی به کار می‌روند. وجود نایستایی در این داده‌ها می‌تواند باعث مشکلاتی در عملکرد مدل شود. بنابراین، با استفاده از آزمون‌های ریشه واحد، داده‌ها به سری‌های مانا تبدیل می‌شوند.

مانایی و ریشه واحد مفاهیمی حیاتی در تحلیل سری‌های زمانی هستند که در حوزه‌های مختلف از جمله اقتصاد، مالی، علوم اجتماعی، مهندسی و یادگیری ماشین کاربرد دارند. تحلیلگران با تشخیص و حذف ریشه واحد، می‌توانند سری‌های زمانی نایستا را به سری‌های مانا تبدیل کرده و دقت مدل‌های پیش‌بینی و تحلیل خود را بهبود بخشند. این فرآیند به تحلیلگران کمک می‌کند تا نتایج بهتری در تحلیل داده‌ها به دست آورند و تصمیم‌گیری‌های دقیق‌تری انجام دهند.

با لینک زیر می‌توانید به صفحه‌ی آموزش نرم افزار ایویوز  EViews ارائه شده به صورت رایگان، جامع و گام به گام  توسط گروه داده پردازی ایران آمار بروید.